Comment encoder une instance donnée du problème d'acceptation d'une machine de Turing dans une instance du PCP ?
Dans le domaine de la théorie de la complexité informatique, le problème d'acceptation d'une machine de Turing consiste à déterminer si une machine de Turing donnée accepte une entrée particulière. D'un autre côté, le problème de post-correspondance (PCP) est un problème indécidable bien connu qui consiste à trouver une solution à un casse-tête spécifique de concaténation de chaînes. Dans ce contexte, la question est de savoir comment coder une instance du problème d’acceptation d’une machine de Turing dans une instance du PCP.
Pour comprendre le processus de codage, considérons d'abord la nature du problème d'acceptation d'une machine de Turing. Une machine de Turing est un modèle théorique de calcul constitué d'une bande divisée en cellules, d'une tête de lecture/écriture et d'un ensemble d'états. Elle fonctionne en lisant le symbole sur la bande à la position actuelle, en passant à un nouvel état basé sur l'état et le symbole actuels et en modifiant la bande en écrivant un nouveau symbole à la position actuelle. La machine s'arrête si elle atteint un état d'arrêt désigné.
Le problème d'acceptation pour une machine de Turing consiste à déterminer si une machine de Turing donnée s'arrête et accepte une chaîne d'entrée spécifique. Ce problème peut être codé dans une instance du PCP en construisant un ensemble de paires de chaînes, chaque paire correspondant à une configuration de la machine de Turing.
Pour coder le problème d’acceptation, nous devons d’abord définir l’alphabet utilisé par la machine de Turing. Soit Σ l'alphabet composé des symboles pouvant apparaître sur la bande. Nous pouvons supposer que l’alphabet comprend un symbole vide, noté #, qui représente les cellules vides de la bande.
Ensuite, nous devons définir l’ensemble des états de la machine de Turing. Soit Q l’ensemble des états, où q0 est l’état initial et qf l’état d’arrêt. De plus, soit qreject un état spécial sans arrêt qui représente le rejet.
Nous pouvons maintenant construire l’ensemble des paires de chaînes pour le PCP. Chaque paire de chaînes correspond à une configuration de la machine de Turing, qui inclut l'état actuel, le contenu de la bande et la position de la tête de lecture/écriture. La construction de paires de chaînes suit ces directives :
1. Commencez par une paire vide : (ε, ε), où ε représente la chaîne vide.
2. Pour chaque état q dans Q, créez une paire : (q, ε).
3. Pour chaque symbole a dans Σ, créez une paire : (a, ε).
4. Pour chaque position i sur la bande, créez une paire : (i, ε).
5. Pour chaque symbole a dans Σ, créez une paire : (a, a).
6. Pour chaque symbole a dans Σ, créez une paire : (a, #).
7. Pour chaque symbole a dans Σ, créez une paire : (#, a).
8. Pour chaque état q dans Q, créez une paire : (q, #).
9. Pour chaque état q dans Q, créez une paire : (#, q).
10. Pour chaque état q dans Q, créez une paire : (q, q).
11. Pour chaque paire (q, a) dans Q × Σ, créez une paire : (q, a).
12. Pour chaque paire (a, q) dans Σ × Q, créez une paire : (a, q).
13. Pour chaque paire (q, i) dans Q × {1, 2, …, n}, créez une paire : (q, i).
14. Pour chaque paire (i, q) dans {1, 2, …, n} × Q, créez une paire : (i, q).
15. Pour chaque paire (q, q') dans Q × Q, créez une paire : (q, q').
16. Pour chaque paire (a, a') dans Σ × Σ, créez une paire : (a, a').
17. Pour chaque triplet (q, a, q') dans Q × Σ × Q, créez une paire : (q, aq').
18. Pour chaque triplet (a, q, a') dans Σ × Q × Σ, créez une paire : (aq, a').
19. Pour chaque triplet (q, i, q') dans Q × {1, 2, …, n} × Q, créez une paire : (q, iq').
20. Pour chaque triplet (i, q, i') dans {1, 2, …, n} × Q × {1, 2, …, n}, créez une paire : (iq, i').
21. Pour chaque triplet (q, q', q'') dans Q × Q × Q, créez une paire : (q, q'q'').
22. Pour chaque triplet (a, a', a'') dans Σ × Σ × Σ, créez une paire : (a, a'a'').
23. Pour chaque quadruple (q, a, q', a') dans Q × Σ × Q × Σ, créez une paire : (q, aa'q').
24. Pour chaque quadruple (a, q, a', q') dans Σ × Q × Σ × Q, créez une paire : (aq, a'aq').
25. Pour chaque quadruple (q, i, q', i') dans Q × {1, 2, …, n} × Q × {1, 2, …, n}, créez une paire : (q, ii' q').
26. Pour chaque quadruple (i, q, i', q') dans {1, 2, …, n} × Q × {1, 2, …, n} × Q, créez une paire : (ii'q, je'q').
27. Pour chaque quadruple (q, q', q'', q) in Q × Q × Q × Q, create a pair: (q, q'q''q).
28. Pour chaque quadruple (a, a', a'', a) in Σ × Σ × Σ × Σ, create a pair: (a, a'a''a).
Ces directives garantissent que chaque configuration possible de la machine de Turing est représentée par une paire dans l'instance PCP. En construisant l'instance PCP de cette manière, nous pouvons coder le problème d'acceptation pour une machine de Turing.
Pour résumer, coder une instance donnée du problème d'acceptation pour une machine de Turing dans une instance du PCP implique de construire un ensemble de paires de chaînes qui représentent les configurations de la machine de Turing. Chaque paire correspond à un état spécifique, un symbole de bande ou une position sur la bande, et suit un ensemble de directives pour garantir que l'encodage est complet.
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