En science de l’information quantique, le concept de bases joue un rôle crucial dans la compréhension et la manipulation des états quantiques. Les bases sont des ensembles de vecteurs qui peuvent être utilisés pour représenter n’importe quel état quantique grâce à une combinaison linéaire de ces vecteurs. La base de calcul, souvent désignée par |0⟩ et |1⟩, est l'une des bases les plus fondamentales de l'informatique quantique, représentant les états de base d'un qubit. Ces vecteurs de base sont orthogonaux les uns aux autres, ce qui signifie qu’ils forment un angle de 90 degrés les uns par rapport aux autres dans le plan complexe.
Lorsque l'on considère la base avec les vecteurs |+⟩ et |−⟩, souvent appelée base de superposition, il est important d'analyser leur relation avec la base de calcul. Les vecteurs |+⟩ et |−⟩ représentent les états de superposition obtenus en appliquant la porte Hadamard aux états |0⟩ et |1⟩, respectivement. L'état |+⟩ correspond à un qubit dans une superposition égale de |0⟩ et |1⟩, tandis que l'état |−⟩ représente une superposition avec une différence de phase de π entre les composants |0⟩ et |1⟩.
Pour déterminer si la base avec les vecteurs |+⟩ et |−⟩ est au maximum non orthogonale par rapport à la base de calcul avec |0⟩ et |1⟩, nous devons examiner le produit scalaire entre ces vecteurs. L'orthogonalité de deux vecteurs peut être déterminée en calculant leur produit scalaire, qui est défini comme la somme des produits des composantes correspondantes des vecteurs.
Pour les vecteurs de base de calcul |0⟩ et |1⟩, le produit scalaire est donné par ⟨0|1⟩ = 0, indiquant qu'ils sont orthogonaux l'un par rapport à l'autre. D'autre part, pour les vecteurs de base de superposition |+⟩ et |−⟩, le produit scalaire est ⟨+|−⟩ = 0, montrant qu'ils sont également orthogonaux les uns aux autres.
En mécanique quantique, deux vecteurs sont dits non orthogonaux au maximum si leur produit scalaire est à sa valeur maximale, qui est 1 dans le cas de vecteurs normalisés. En d’autres termes, les vecteurs au maximum non orthogonaux sont aussi éloignés que possible d’être orthogonaux.
Pour déterminer si la base avec les vecteurs |+⟩ et |−⟩ est au maximum non orthogonale par rapport à la base de calcul, nous devons calculer le produit scalaire entre ces vecteurs. Le produit scalaire entre |+⟩ et |0⟩ est ⟨+|0⟩ = 1/√2, et le produit scalaire entre |+⟩ et |1⟩ est ⟨+|1⟩ = 1/√2. De même, le produit scalaire entre |−⟩ et |0⟩ est ⟨−|0⟩ = 1/√2, et le produit scalaire entre |−⟩ et |1⟩ est ⟨−|1⟩ = -1/√2.
À partir de ces calculs, nous pouvons voir que les produits scalaires entre les vecteurs de base de superposition et les vecteurs de base de calcul ne sont pas à leur valeur maximale de 1. Par conséquent, la base avec les vecteurs |+⟩ et |−⟩ n'est pas non orthogonale au maximum dans par rapport à la base de calcul avec |0⟩ et |1⟩.
La base avec les vecteurs |+⟩ et |−⟩ ne représente pas une base maximalement non orthogonale par rapport à la base de calcul avec les vecteurs |0⟩ et |1⟩. Bien que les vecteurs de base de superposition soient orthogonaux les uns par rapport aux autres, ils ne sont pas non orthogonaux au maximum par rapport aux vecteurs de base de calcul.
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